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从徐川的手中接过稿纸,佩雷尔曼认真的看了好一会儿。
“朗兰兹猜想中涉及的函子性猜想从本质上是一种诱导表示构造,但这些自守L函数之间满足某些和谐的关系,并存在唯一的因式分解,是证明函子性的特例表达式。”
说到这,他看向徐川,开口问道:“这里有黑板吗?”
“当然。”
徐川笑着点点头,从角落中拖出来一张黑板:“做学术的地方怎么可能没有这种必备工具。”
从笔篓中拾起记号笔,佩雷尔曼也没犹豫,直接在黑板上写道:“L(s,π)=Πv有限L(s,πv),Λ(s,π)=Π所有vL(s,πv)。”
“局部的朗兰兹对应可以用来构造局部朗兰兹L因子L(s,πv),从而定义
L函数。而对于自守尖点表示π,定义L(s,π)与Λ(s,π)的无穷乘积当
Res充分大时收敛,可以对定义了L函数LGJ与ΛGJ.....”
办公室中,徐川若有所思的看着黑板上的算式。
通过艾森斯坦理论来对非平凡抛物子群进行连续谱分解,没想到在朗兰兹L自守函数的研究上佩雷尔曼还有这样一手。
这人不是研究流行和拓扑的么?
有点意思。
黑板前,佩雷尔曼已经完全沉浸到数学世界里面去了,一行行的算式从他手中写出,白色的笔记很快就铺满了黑板。
不过没一会,他就停下了手中的记号笔,像是在与徐川交流又像是在自言自语的开口道:
“尽管由局部朗兰兹猜想的证明可得出对于GLn,它们与L(s,π)、Λ(s,π)相等,但当σ的等价类与群G的自守表示π对应时,对于G=GLn,
朗兰兹互反律猜想是否为为类域论仍然未知。”
“而且目前我也没有足够的方法来解决这个问题。”
办公室中,盯着黑板上的算式沉思了一会,徐川走上前,从佩雷尔曼的手中拿过了记号笔,翻过了黑板,开口道。
“这里我有一点想法。”
一边解释,他一边在黑板上写下一行行的算式。
“利用L群的概念,Langlands函子性猜想可作如下描述.设G与H为域F上两个可简约线性代数群,G为拟分裂的。”
“进一步设ψ:LH→LG为一个L同态.这里一个连续同态ψ:LH→LG被称为一个L同态,如果ψ|LH0是一个复解析同态:LH0→LG0。”
“那么对于F的任意赋值v,设ψv为ψ限制到L(H(Fv))→L(G(Fv))
的映射。利用局部朗兰兹猜想,可以构造一个G(FA)的自守表示Π=?vΠv......”
站在徐川身后,佩雷尔曼的目光落在黑板上,眼眸中满是惊讶。
“利用ψ的函子性的基变换,对可解伽瓦罗进行扩域,再由群表示空间的
函数在酉群上的积分来描述.....”
“这条思路,简直太棒了!”
深吸了口气,佩雷尔曼语气中带着一丝惊讶和震撼开口道:“你是怎么想到这点的?”
闻言,徐川笑了笑,道:“我之前带过两个学生,他们解决了全程函数中的一个难题,我从他们身上也学到了不少的东西。”
微微停顿了一下,他的目光落在黑板上,接着道:“你说的没错,利用ψ的函子性的基变换,对可解伽瓦罗进行扩域,这是一条方便快捷的道路。”
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